あらすじ・内容紹介
数学書『集合位相の最高施設』を開き、定義を読み、定理の証明を目でたどる。それは登山にたとえれば、地図を広げてルートを指でなぞる作業に似ています。地図読みはもちろん大切です。稜線の形も、谷の深さも、そこに描かれています。けれども、実際に自分の足で一歩を踏み出さないかぎり、斜面の傾きも、岩のざらつきも、けっして身体には入ってきません。本書は、その「一歩」を踏み出すための問題集です。本編の全6編・27章・125節の構成に沿って、85題の例題を配置しました。
旅程は抽象数学の骨格を貫きます。論理・集合・写像という数学の共通言語から始まり、濃度と対角線論法、順序とツォルンの補題、選択公理という「無限の解剖」へ。実数の構成という連続体の創造を経て、距離空間の完備性、位相空間という究極の抽象、そしてコンパクト性・連結性・関数空間という大域的性質まで。読んで「わかったつもり」になった定義が、いざ問題を前にすると指の間からこぼれていくーーその落差にきちんと直面し、埋めていくための場所を、ここに用意しました。
解き進めるうちに、三つの作法が身につきます。第一に、定義に戻ること。抽象数学の問題の多くは、定義を寸分たがわず書くだけで半分は解けています。第二に、反例を探すこと。「この仮定を外したら、何が壊れるか」--反例は、定理の仮定がなぜ必要かを教えてくれる、ただ一人の教師です。補有限位相やゾルゲンフライ直線、トポロジストの正弦曲線といった「病的な空間」が繰り返し登場するのは、そのためです。第三に、抽象化して短くすること。よく選ばれた概念は、無数の証明を一言に畳み込みます。概念とは、証明の圧縮なのです。例題には«定石»と【発想の道筋】を添え、なぜその一手を思いつくのかまで言葉にしました。手が止まったら、答えを見る前にまずそこを読んでください。
すべての例題は、本編を読まなくても解答が追えるように書きました。0.999…＝1に抵抗する心や、平面と直線の濃度が等しいことへの驚きと、きちんと向き合ってください。定義を厳密な記号で覚え、その「心」を直感でつかむーーこの二刀流こそ、抽象数学を自分のものにする最短の道でした。この施設を歩き終えたとき、あなたはもう、集合と位相の言葉を話せます。
