あらすじ・内容紹介
代数幾何学とは何かーー本書『代数幾何学の最高施設』は、現代数学で最も抽象的とされるこの分野を、どこまでも素朴な一点から立ち上げます。それは「多項式に等号をつけて眺める」という、ただそれだけの操作です。一つの方程式は、文字の等式であると同時に、平面に描かれた一つの図形でもある。この「一つの式が一つの図形を定める」という対応ーー代数と幾何を結ぶこの一本の橋こそが、壮大な建造物の礎石です。
代数幾何学の真の姿は、この橋を渡り尽くすことにあります。「なめらかか」「何次元か」「二つの図形はどこで交わるか」という幾何の問いを、環・イデアル・層という代数の言葉に翻訳し、計算として解き明かす。逆に、代数の問いを図形の言葉で見通しよく捉え直す。二十世紀の数学者たちはこの往復運動を、想像もつかぬほど深く推し進めました。その到達点であるグロタンディークのスキーム論は、代数幾何を数論と統一し、人類の知の金字塔を生み出したのです。
本書は、平面の一つの曲線から出発します。アフィン多様体・射影多様体・次元・特異点という古典を固め、その限界を動機としてスキーム・層・コホモロジーという現代の言語へ自然に登り、曲線のリーマン–ロッホの定理という頂に至ります。さらに曲面の分類理論を望み、現代代数幾何の地図を描くまでを、一冊で辿りきります。
叙述は「最高施設」シリーズの流儀を貫きました。定義の前に必ずその動機を語り、〔情緒〕の囲みで直観を分かち合い、具体例と反例を惜しみなく置きます。
スキームや層といった現代の言語が、なぜ古典的な多様体論では足りないのかという「不満」から自然に立ち上がるよう配慮しています。座標環とスペクトル、連接層とコホモロジーーー抽象的な道具を、具体的な曲線や曲面の上で計算しながら身につけられます。因子とリーマン–ロッホ、セール双対性といった山場では、証明の全体像をまず俯瞰してから細部へ降ります。前提となる可換環論も本書の中で用意しました。
一本の円から出発した旅が、やがて数論とつながり、現代数学の心臓へと届くーーその眺めを、行間を残さぬ証明とともにお楽しみいただければ幸いです。
