あらすじ・内容紹介
読むだけでは、代数はわかりません。定理の証明を「なるほど」と眺めているうちは、それはまだ著者の理解であって、あなたの理解ではないのです。自分の手でペンを握り、定義に立ち返り、途中でつまずき、それでも一行ずつ進めて「解けた」と声が漏れるーーその瞬間にはじめて、抽象的な概念はあなた自身の道具になります。本書は『代数学の最高施設』（全6編・102節）に完全準拠した問題集です。収録した243問はそのすべてが本編の節に対応し、本編を一節読むごとに対応する例題を一問解くーーこの往復で、「読んで知っている」だけの定理を「使って解ける」定理へ変えていきます。
旅程は大学代数学の全域を覆います。第1編で写像・同値関係・整数論という足場を組み、第2編で群論ーーラグランジュの定理からシローの定理、単純群、位数ごとの群の分類まで。第3編で環とイデアル、素元分解の系譜、Z[√-5]の類数計算まで。第4編でベクトル空間と加群の構造定理、第5編で体論とガロア理論ーーガロア対応の計算、正17角形の構成、五次方程式の非可解性、eとπの超越性まで。第6編は実数と複素数の厳密な構成で全体を締めくくります。
各例題は7つのブロックで組み立てました。«定石»が方針を一行で掲げ、【発想の道筋】が考え方の流れをたどり、【解答】は途中の計算・場合分け・検算まで行間を飛ばさずに書き下し、右側の欄外注が「今この行で何をしているか」を一段ずつ添えます。さらに【別解】が視点を変え、【ポイント】が要点を二点に絞り、【お気持ち・背景】が動機と歴史と他分野へのつながりを語ります。つまずいた地点に応じて必要なだけヒントを受け取り、残りは自分で埋めるーー「解答を読む」経験を「自分で解く」経験に近づける設計です。
この問題集が一貫して大切にしたのは、手を動かすことでした。証明を読んで納得した定理と、自分で行間を埋めて証明した定理とでは、あなたの中での重みがまるで違います。前者はいつか忘れますが、後者はあなたの一部になります。群・環・体という抽象の器は、対称性・数の世界の一般化・方程式の解法という具体的な問いから生まれました。243問を通じて、その「なぜ」ごと抽象を手に入れることーーそれが本書の願いです。
