あらすじ・内容紹介
「連続とは何か」--この一見、素朴な問いに、あなたは本当に答えられるでしょうか。
『集合位相の最高施設』は、論理と集合というたしかな土台から出発し、写像、無限の濃度、選択公理、そして実数の厳密な構成を経て、「近さ」を測る距離空間へ。さらには距離という物差しさえ手放し、「近さ」だけを純粋に取り出す位相空間の頂へと至るーー数学の壮大な一棟の建造物を、一階から最上階まで、あなたと共に登りきる一冊です。
全編をやさしい「です・ます」の語り口で書き進めながら、その中身は妥協していません。集合論から無限論、実数の構成、距離空間、位相空間、そしてコンパクト性・連結性・関数空間まで、現代数学の核心を、初学者がひとりでも読み通せる「一本道」として描き切りました。独学で挑む方にも、一度学んだ景色をもう一度たしかめたい方にも、これから専門数学へ進む方にも、揺るがぬ足場となるはずです。
本書には、三つのこだわりがあります。第一に、すべての概念の「心」を〔情緒〕として日本語に意訳し、無味乾燥にも見える定義の奥にある「気持ち」まで伝えること。第二に、抽象的な定理を必ずユークリッド空間と関数空間という二本の柱の上に着地させ、頭の中に「絵」が描けるようにすること。第三に、ゾルゲンフライ直線・長い直線・正弦曲線といった名高い反例を惜しみなく登場させ、定理の効く範囲と、その効かなくなる境界線までも、くっきりと描き出すこと。
選択公理とツォルンの補題、ウリゾーンの距離化定理、チコノフの定理、ハイネ＝ボレルの定理、ベールのカテゴリー定理、バナッハやブラウワーの不動点定理ーー現代数学の心臓部をなす定理の数々を、一つの飛躍も残さず、ていねいな証明とともに味わい尽くします。
数学の本当の面白さは、物差しの奥に隠れた「かたち」を見る眼を手に入れたとき、はじめて立ち現れます。はやる心はいったん抑えて、しかし決して妥協はせず、確かな一歩を一段ずつ。やがて抽象の高みに立ったとき、これまで別々に見えていた概念が一つに繋がり、世界がまるで違って見えるーーその瞬間の静かな感動こそ、本書があなたに贈りたいものです。
さあ、ご一緒に、この壮大な建造物を登りはじめましょう。
